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JavaFXのWebViewからHTMLの内容を出力（取得）するには、
WebEngineの executeScript メソッドを用いて document.documentElement.outerHTML を取得するか、
印刷APIを利用します。

方法1：HTML文字列として取得する
DOMの outerHTML をJavaScriptで抽出するのが最も一般的な方法です。

java
WebEngine engine = webView.getEngine();

// 現在のページのHTMLを文字列として取得
String htmlContent = (String) engine.executeScript("document.documentElement.outerHTML");

System.out.println(htmlContent);

方法2：PDFやプリンタに出力する
JavaFXの標準機能を使って、レンダリングされたHTMLを直接印刷したり、PDFとしてファイル出力することも可能です。

java
// JavaFXの印刷ジョブを開始
PrinterJob job = PrinterJob.createPrinterJob();

if (job != null && job.showPrintDialog(stage)) {
    // WebViewを印刷
    webView.getEngine().print(job);
    job.endJob();
}

詳細なドキュメントやその他の機能については、
OracleのJavaFX埋込みブラウザチュートリアル(HTMLコンテンツの印刷) をご参照ください