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JavaFXの WebView からAceEditorの特定の行のインデックスを取得し、その文字列を抽出するには、
AceのJavaScript API editor.session.getLine(row) を WebView の executeScript メソッドで実行します。

具体的なコード例

以下は、Java側からAceEditorの指定行（例：0行目＝1行目）の文字列を取得する具体的な手順です。
java
// 行番号を指定（例: 0行目を取得）
int rowIndex = 0; 

// JavaScriptを実行して指定行の文字列を取得する
String lineString = (String) webView.getEngine().executeScript(
    "editor.session.getLine(" + rowIndex + ");"
);

System.out.println("取得した文字列: " + lineString);

その他の便利なJavaScriptコマンド
AceEditorのドキュメントに沿って、行に関する様々な情報を executeScript で取得できます。

用途JavaScript コマンド例

カーソルがある行番号を取得する			editor.selection.getCursor().row;
指定行（例: 5行目）の文字列を取得する	editor.session.getLine(5);
現在のエディタ全体の行数を取得する		editor.session.getLength();

AceEditorのAPI仕様やエディタインスタンス（editor）のスコープについては、Ace Editor API を参照してください。