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JavaFXは内部的にUnicode（UTF-16）を標準としているため、
文字列変換はJava標準の String.getBytes() と new String() を用いて行います。
java
String original = "あいうえお";

// 1. 文字列を UTF-8 のバイト配列に変換
byte[] utf8Bytes = original.getBytes(StandardCharsets.UTF_8);

// 2. 文字列を Shift-JIS のバイト配列に変換
byte[] sjisBytes = original.getBytes(Charset.forName("Shift_JIS"));

// 3. バイト配列から文字列へ戻す
String utf8String = new String(utf8Bytes, StandardCharsets.UTF_8);
String sjisString = new String(sjisBytes, Charset.forName("Shift_JIS"));

注意点・文字化け対策
・ 文字コードの指定： プラットフォームによってデフォルトエンコーディングが異なるため、
文字コードを明示的に指定します（Java標準の定数または Charset クラスを利用します）。

・ Shift-JISのバリエーション： Windows環境でShift-JISを扱う場合は、
機種依存文字などもサポートしている "Windows-31J" を指定するとトラブルを減らせます。

より高度なストリーム処理や文字コードの詳細は、Java公式ドキュメント をご参照ください